Normale distribution

Normal distribusjon - Denne artikkelen introduserer normalfordelingen. Normalfordelingen er av avgjørende betydning i sannsynlighetsteori og statistikk, og det er mye brukt til å bygge modeller av virkelige fenomener i både naturlige og samfunnsvitenskap

Det er flere grunner til at normalfordelingen er så viktig.:

1. mange tilfeldige mengder som vi observerer i praksis har en sannsynlighetsfordeling som er tilnærmet normal (for eksempel målefeil i vitenskapelige eksperimenter, menns høyde og vekt, IQ);
2. normalfordelingen naturlig oppstår i sentralgrensesetningen (prøven gjennomsnittet konvergerer til normalfordelingen ved å øke størrelsen på utvalget);
3. fra et matematisk synspunkt er normalfordelingen svært medgjørlig (mange egenskaper av normalfordelingen kan karakteriseres gjennom eksplisitte matematiske formler).

Den enkleste tilfelle av en normalfordeling er standard normalfordelingen, dvs. normalfordeling med null middelverdi og enhet varians.

En tilfeldig variabel som har en standard normalfordeling er kalles en standard normal tilfeldig variabel. En standard normal tilfeldig variabel Z kan karakteriseres ved sin sannsynlighetstetthetsfunksjonen f (z):

f (z) = (2 * pi) ^ (- 1/2) * exp (- (1/2 ) * z ^ 2)

Siden (2 * pi) ^ (- 1/2) er en konstant, er sannsynlighetstetthet f (z) proporsjonal med:

exp (- (1/2) * z ^ 2)

Merk at:

1. f (z) er maksimert ved z = 0; Derfor er det mest sannsynlige utfallet Z = 0;
2. f (z) er symmetrisk; Derfor verdier av motsatt fortegn, men lik størrelse har samme sannsynlighet (f (z) = f (z));
3. høyere z er i absolutt verdi er lavere f (z) og jo mindre sannsynlig er det at Z = z;
fire. tettheten har eksponentiell; dermed er det svært lite sannsynlig å observere erkjennelser langt ut i halene.

Som vi har forventet, har en standard normal tilfeldig variabel null middelverdi og enhet varians

Enhver annen normal tilfeldig variabel X som ikke er en standard normal tilfeldig variabel kan skrives som:.

X = mu + sigma * Z

hvor Z er en standard normal tilfeldig variabel, er mu gjennomsnittet av X og sigma ^ 2 er dens varians. Derfor kan en hvilken som helst normal tilfeldig variabel skrives som en lineær transformasjon av en standard normal tilfeldig variabel. Dette betyr at enhver normal fordeling er fullstendig karakterisert ved sin midlere mu og ved dens varians sigma. Dette er et svært nyttig resultat: det betyr at alle teoremer og proposisjoner om standard normalfordeling (som er lettere å utlede) kan enkelt utvides til ikke-standard normalfordelinger

Du kan finne mye mer materiale. om normalfordelingen på StatLect, en gratis digital lærebok om sannsynlighet og statistikk som gir tilgang til en stadig voksende samling av forelesninger og øvelser på sannsynlighetsteori, statistikk og økonometri.

Hovedtrekkene i StatLect er følgende :

1. trinn-for-trinn forelesninger: det vesentlige av hvert emne er først introdusert på en intuitiv måte, og deretter, om nødvendig, de er gjentatt i en mer grundig måte; etter det, er mer elementære detaljer lagt; endelig, mer avanserte detaljer diskutert.
to. løste oppgaver og flervalgstester: på slutten av hver forelesning du kan finne løses øvelser på ulike vanskelighetsgrader (etter å ha prøvd å løse problemene, kan du lese en nøye forklart løsning); du kan også finne flervalgstester scoret i sanntid.
2. hyperlenker: hver gang du finner et teknisk begrep, kan du hoppe til sin definisjon ved å klikke på det,
3. oppdatert materiale: forelesningene blir kontinuerlig revidert og oppdatert, slik at forhåpentligvis de blir mer komplett og klarere og feil og skrivefeil er eliminert,
fire. . stadig voksende lærebok: antall forelesninger vokser

Den digitale lærebok kan bli funnet på www.statlect.com
. .